多重対数函数その1

最近多重対数函数というのに触れる機会があったので記録しておく。

日本のWkipediaだと多重対数関数 - Wikipedia、英語だとPolylogarithm - Wikipedia。充実度だと圧倒的に英語のほうが上なのはままあり今回も例にもれずと言ったところ。

記事にある通り、多重対数函数というのは複素数 に対して

\begin{align} \mathrm{Li}_s(z) &= z + \frac{z^2}{2^s} + \frac{z^3}{3^s} + \frac{z^3}{3^s} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^s} \end{align}

 で定義される。 のときは

\begin{align} \mathrm{Li}_1(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n} = -\ln (1-z) \end{align}

のように普通の対数函数になる。 まわりでTaylor展開すればわかる。また で発散してしまうので定義域は であることが分かる。 を避けさえすれば解析接続でその範囲外の値が求められる。

多重対数函数を微分すると

\begin{align} \frac{\mathrm{d} \mathrm{Li}_{s+1} (z)}{\mathrm{d} z} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ n z^{n-1}}{n^{s+1}} = \frac{1}{z} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ z^n}{n^s} = \frac{1}{z} \mathrm{Li}_{s} (z) \end{align}

が得られる。また

\begin{align} \frac{\mathrm{d} \mathrm{Li}_{s+1} (e^x)}{\mathrm{d} x} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ n  e^{nz}}{n^{s+1}} =  \mathrm{Li}_{s} (e^x) \end{align}

も得られる。ふたつの式は でつながる。