ファインマンパラメータ積分

特殊函数

ファインマンパラメータ積分は (ファインマン・パラメータ積分 - Wikipedia, Feynman parametrization - Wikipedia) 何度か導出した気がするけど毎回忘れて時間を浪費してしまう、というわけでしっくり来たものを一旦見えるところに書き記しておこうというの…

2018-11-22

周期的な強制振動（減衰項無し）の補足の補足

前回の周期的な強制振動の計算で適当な時刻で発散しなかったというのがあったが、改めてやったら一応求まったので載せておく。時刻、パラメータにおいて \begin{equation} \lim_{\alpha\to1} \frac{\sin \alpha s}{1-\alpha^2} \end{equation} を考える。 …

2018-11-17

周期的な強制振動（減衰項無し）の補足

力学

前回（周期的な強制振動（減衰項無し） - phys-aのブログ）は減衰項なしで強制振動を考え、固有周期と強制振動を与える周期によって構成されるパラメータの値で場合分けをして解く、ということを述べた。その時においてを考えると発散するとも述べたが、…

2018-11-13

周期的な強制振動（減衰項無し）

力学

強制振動は単振動の方程式に外力に相当する項を加えた方程式で表わされる。ここでは周期的な外力としてを加えることにする。いつも通り周波数をと置いて、運動方程式を簡略化するためにのように時間を無次元化し、それに合わせて外力の係数を、周波数を…

2018-11-02

第2種変形Bessel函数: 原点近傍

特殊函数

前回は第2種変形Bessel函数の積分形っぽいのを見てみた。今回は原点付近でどのように展開できるのかを見てみる。参考にしたのはみんながお世話になってるだろう岩波数学公式集のIII。特殊函数 (岩波数学公式 3) 作者: 森口繁一,一松信,宇田川〓久出版社/…

2018-10-30

第2種変形Bessel函数

特殊函数

特殊函数の1つにBessel函数というのがある（ベッセル関数 - Wikipedia）。のようにいくつか種類があって物理の計算の中で時折顔を出す。そのいくつかある中で第2種変形Bessel函数に関係する話として以下の積分に触れてみる。 \begin{equation} A(\nu,x) = \…

2018-10-25

線形微分方程式についての補足

力学

パラメータを含む変数の2階線形微分方程式にFourier展開した解を実際に代入する。例えば \begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} + 2\mu \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} + \omega^2 x = 0 \end{equation} に \begin{equation} x = \i…

2018-10-20

落体の運動方程式（ものすごく簡単な非線形微分方程式）

力学

今まで扱ってきた線形微分方程式は斉次線形微分方程式とも呼ばれるものである。シンボリックに書くと、パラメータを含む変数に対して \begin{align} L[a_0, a_1, \dots, a_n] = a_0 + a_1 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} + a_2 \frac{\mathrm{d^2}}{\mat…

2018-10-13

2階線形微分方程式（無次元化した解とそのグラフ）

力学

2階微分方程式を解くうえでパラメータが特定の関係を満たすときのみ臨界減衰現象を起こす。その大雑把な場合分けは前回の記事で扱った。今回は無次元になるように規格化することで解の形を整えてたうえで3パターンに場合分けしたものを比較する。併せてグラ…

2018-10-11

2階線形微分方程式（減衰と振動）

力学

力学で扱う運動方程式で単純な2階線形微分方程式について少し述べる。はそれぞれ位置と時間、は順に質量、空気抵抗係数（粘性係数）、バネ係数とする。運動方程式は \begin{align} m \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} = - K \frac{\mathrm{d} x}{\ma…