第2種変形Bessel函数 - phys-aのブログ

特殊函数の1つにBessel函数というのがある（ベッセル関数 - Wikipedia）。 $J_\alpha (x), Y_\alpha (x), I_\alpha (x), K_\alpha (x)$ のようにいくつか種類があって物理の計算の中で時折顔を出す。そのいくつかある中で第2種変形Bessel函数に関係する話として以下の積分に触れてみる。

\begin{equation} A(\nu,x) = \int_0^\infty \mathrm{d}t\, \left( 2 t \right)^{-\nu-1} \exp\left[-x \left(\frac{1}{4t} + t \right) \right] \qquad \mbox{for } \mathrm{Re} \, x > 0 \end{equation}

この積分を $x$ について微分すると $\frac{1}{2}\left(A(\nu+1,x)+A(\nu-1,x)\right)$ が得られる。第2種変形Bessel函数 $K_\alpha(x)$ を微分すると同様の漸化式を満たす。また第2種Bessel函数は $K_\alpha(x) = K_{-\alpha} (x)$ を満たすのに対し上記の積分でも積分変数を $t \to \frac{1}{4 s}$ と変換すれば満たされることが分かる。

というわけでこの積分は $x$ が正の実数の範囲内で第2種変形Bessel函数を与える積分らしい（ただしちゃんと確認できていない。）。