ファインマンパラメータ積分
ファインマンパラメータ積分は (ファインマン・パラメータ積分 - Wikipedia, Feynman parametrization - Wikipedia) 何度か導出した気がするけど毎回忘れて時間を浪費してしまう、というわけでしっくり来たものを一旦見えるところに書き記しておこうというのが今回の内容です。例のごとく上にWikipediaのリンクを貼っているので、そこで納得できればここに書かれてることを読む必要ありません。英語版Wikipediaの方は導出をちゃんと書いており、ここではその行間を埋めて書いているだけです。
ここで考える 個のパラメータ
に対するファンマンパラメータ積分は
\begin{align} \frac{1}{a_1 \cdots a_n} = \int ^1_0 \mathrm{d} x_1 \cdots \mathrm{d} x_n \frac{ \Gamma(n) \delta(1- x_1 - \cdots - x_n)}{ [ a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n]^n} \end{align}
である。
\begin{align} \frac{1}{a^s} = \frac{1}{\Gamma(s)} \int^\infty _0 \mathrm{d} t \, t^{s-1} e^{-a t} \end{align}
のような積分の形で表わすことが出来る(若干の参考: 演算子のゼータ函数 - phys-aのブログ)。これは右辺の式で のように変数変換を行えば元に戻ることから確認できる。この式に
を代入し、
個の積を考えれば
\begin{align} \frac{1}{a_1 a_2\cdots a_n} = \int^\infty _0 \mathrm{d} t_1 \, e^{-a_1 t_1} \, \int^\infty _0 \mathrm{d} t_2 \, e^{-a_2 t_2} \cdots \int^\infty _0 \mathrm{d} t_n \, e^{-a_n t_n}\end{align}
となる。これが出発点である。
ここで独立だった 個の無限積分を
次元空間でのひとまとまりの積分と見なし*1、以下のような変数変換を施す。
\begin{align} \begin{cases} t_i = t x_i & ( i = 1, 2, \dots, n-1) \\ t_n = t(1 - x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-1}) \end{cases}. \end{align}
これで積分変数が の組に置き換えられることになる。またそれに伴い積分区間は
かつ
となる。
変数変換を施した積分は
\begin{align} \frac{1}{a_1 a_2\cdots a_n} = \int^1 _0 \mathrm{d} x_1 \cdots \mathrm{d} x_{n-1} \int ^\infty _0 \mathrm{d} t \, \mathrm{det} \! \left( \frac{ \partial t_j }{\partial x_k} \right) e^{-t \left( a_1 x_1 + \cdots + a_n (1- x_1 + \cdots + x_{n-1}) \right)} \end{align}
と表わされる。 はそれぞれ同じ積分範囲なのでひとつのみ書いてあとは省略した。積分測度は
\begin{align} \mathrm{det} \begin{pmatrix} \frac{ \partial t_1 }{ \partial x_1} & \frac{ \partial t_1 }{\partial x_2} & \cdots & \frac{ \partial t_1 }{\partial x_n} \\ \frac{ \partial t_2 }{\partial x_1}& \frac{ \partial t_2 }{\partial x_2} & \cdots & \frac{ \partial t_2 }{\partial x_n} \\ \vdots& \vdots& \ddots & \vdots \\ \frac{ \partial t_n }{\partial x_1} & \frac{ \partial t_n }{\partial x_2} & \cdots & \frac{ \partial t_n }{\partial x_n} \end{pmatrix} = & \mathrm{det} \begin{pmatrix} t & 0 & \cdots & x_1 \\ 0 & t & \cdots & x_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -t & -t & \cdots & 1 - \sum_{j=1}^{n-1} x_j \end{pmatrix} \\ = & \mathrm{det} \begin{pmatrix} t & 0 & \cdots & x_1 \\ 0 & t & \cdots & x_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \\ = & \mathrm{det} \begin{pmatrix} t & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & t & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \\ = & t^{n-1} \end{align}
と求まるので
\begin{align} \frac{1}{a_1 a_2\cdots a_n} &= \int^1 _0 \mathrm{d} x_1 \cdots \mathrm{d} x_{n-1} \int ^\infty _0 \mathrm{d} t \, t^{n-1} e^{-t \left( a_1 x_1 + \cdots + a_n (1- x_1 + \cdots + x_{n-1}) \right)} \\ =& \int^1 _0 \mathrm{d} x_1 \cdots \mathrm{d} x_{n-1} \frac{\Gamma(n)}{ \left[ a_1 x_1 + \cdots + a_n (1- x_1 + \cdots + x_{n-1}) \right]^n} \end{align}
が得られる。途中で変数変換を行って 積分を行ってガンマ函数にしている。積分は一つ実行できてしまったので
個になっている。この形でも充分だが、式の対称性を気にするならデルタ函数を使って積分を一つ増やすことで
\begin{align} \frac{1}{a_1 a_2\cdots a_n} = \int^1 _0 \mathrm{d} x_1 \cdots \mathrm{d} x_{n-1} \int_0^1 \mathrm{d} x_n \frac{\Gamma(n) \delta(1 - x_1 - \cdots - x_n) }{ \left[ a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n \right]^n} \end{align}
が得られる。これが冒頭で記していたファンマンパラメータ積分の式である。
もうすこし一般的な形にしたければ最初の冪函数をガンマ函数で表わす部分で としないでそのまま計算を進めればよいことが分かる。
