特殊函数の1つにBessel函数というのがある（ベッセル関数 - Wikipedia）。 のようにいくつか種類があって物理の計算の中で時折顔を出す。そのいくつかある中で第2種変形Bessel函数に関係する話として以下の積分に触れてみる。 \begin{equation} A(\nu,x) = \…

パラメータ を含む変数 の2階線形微分方程式にFourier展開した解を実際に代入する。例えば \begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} + 2\mu \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} + \omega^2 x = 0 \end{equation} に \begin{equation} x = \i…

今まで扱ってきた線形微分方程式は斉次線形微分方程式とも呼ばれるものである。シンボリックに書くと、パラメータ を含む変数 に対して \begin{align} L[a_0, a_1, \dots, a_n] = a_0 + a_1 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} + a_2 \frac{\mathrm{d^2}}{\mat…

2階微分方程式を解くうえでパラメータが特定の関係を満たすときのみ臨界減衰現象を起こす。その大雑把な場合分けは前回の記事で扱った。今回は無次元になるように規格化することで解の形を整えてたうえで3パターンに場合分けしたものを比較する。併せてグラ…

力学で扱う運動方程式で単純な2階線形微分方程式について少し述べる。 はそれぞれ位置と時間、 は順に質量、空気抵抗係数（粘性係数）、バネ係数とする。運動方程式は \begin{align} m \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} = - K \frac{\mathrm{d} x}{\ma…

物理の始めと言えば質点の力学、そして調和振動子、そんなイメージがあります。というわけで調和振動子の線形微分方程式を解いてみます。それだけです。 とりあえずその方程式というのは位置 、時間 、質量 、バネ定数 とした時 \begin{equation} m \frac{\m…

多重対数函数の話の中でHurwitzのゼータ函数 の紹介（というかWikipediaのリンクを貼っただけ）をした。ゼータ函数と言ってもいろいろな表示方法があったり、バリエーションがあったりする（というのをわりと最近知った）。その中に演算子のゼータ函数という…