前回（周期的な強制振動（減衰項無し） - phys-aのブログ）は減衰項なしで強制振動を考え、固有周期と強制振動を与える周期によって構成されるパラメータ の値で場合分けをして解く、ということを述べた。その時 において を考えると発散するとも述べたが、…

強制振動は単振動の方程式 に外力に相当する項を加えた方程式で表わされる。ここでは周期的な外力として を加えることにする。いつも通り周波数を と置いて、運動方程式を簡略化するために のように時間を無次元化し、それに合わせて外力の係数を 、周波数を…

パラメータ を含む変数 の2階線形微分方程式にFourier展開した解を実際に代入する。例えば \begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} + 2\mu \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} + \omega^2 x = 0 \end{equation} に \begin{equation} x = \i…

今まで扱ってきた線形微分方程式は斉次線形微分方程式とも呼ばれるものである。シンボリックに書くと、パラメータ を含む変数 に対して \begin{align} L[a_0, a_1, \dots, a_n] = a_0 + a_1 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} + a_2 \frac{\mathrm{d^2}}{\mat…

2階微分方程式を解くうえでパラメータが特定の関係を満たすときのみ臨界減衰現象を起こす。その大雑把な場合分けは前回の記事で扱った。今回は無次元になるように規格化することで解の形を整えてたうえで3パターンに場合分けしたものを比較する。併せてグラ…

力学で扱う運動方程式で単純な2階線形微分方程式について少し述べる。 はそれぞれ位置と時間、 は順に質量、空気抵抗係数（粘性係数）、バネ係数とする。運動方程式は \begin{align} m \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} = - K \frac{\mathrm{d} x}{\ma…

物理の始めと言えば質点の力学、そして調和振動子、そんなイメージがあります。というわけで調和振動子の線形微分方程式を解いてみます。それだけです。 とりあえずその方程式というのは位置 、時間 、質量 、バネ定数 とした時 \begin{equation} m \frac{\m…