2階線形微分方程式（無次元化した解とそのグラフ）

2階微分方程式を解くうえでパラメータが特定の関係を満たすときのみ臨界減衰現象を起こす。その大雑把な場合分けは前回の記事で扱った。今回は無次元になるように規格化することで解の形を整えてたうえで3パターンに場合分けしたものを比較する。併せてグラフにして目に見えるようにする。

共通して初期位置と初期速度とをそれぞれ $x_0$ と $v_0$ とおく。すると前回解いた2階線形微分方程式の解は以下の3つの形に書ける*1。記号の定義などは2階線形微分方程式（減衰と振動） - phys-aのブログ参照。

\begin{align} x &= \left( x_0 \sin \Omega_\mu t + \frac{v_0 + x_0 \mu }{\Omega_\mu} \sin \Omega_\mu t \right) e^{-\mu t} \qquad (\omega > \mu), \\ x &= \left( x_0 + \left( x_0 \mu + v_0 \right) t \right) e^{-\mu t} \qquad ( \omega = \mu), \\ x &= x_0 \frac{ \Lambda_+ e^{-\Lambda_- t} - \Lambda_- e^{- \Lambda_+ t} }{ \Lambda_+ - \Lambda_-} + v_0 \frac{ e^{-\Lambda_- t} - e^{- \Lambda_+ t} }{ \Lambda_+ - \Lambda_-} \qquad ( \omega < \mu). \end{align}

ここで初期位置 $x_0 \gt 0$ として無次元化された位置 $\chi = \frac{x}{x_0}$ を定義する*2。同様に無次元化された時間 $s = \mu t$ と無次元化された速度 $\nu = \frac{v_0}{x_0 \mu}$ とを定義する。そして

\begin{align} \alpha = \sqrt{ \left(\frac{\omega}{\mu}\right)^2 -1} \mbox{ for } \omega > \mu , \quad \beta = \sqrt{ 1-\left(\frac{\omega}{\mu}\right)^2} \mbox{ for } \omega < \mu \end{align}

なる無次元量 $\alpha, \beta$ を導入する。この2つの無次元量を定義するパラメータの領域が違うことに注意する。また

\begin{equation} \alpha > 0, \qquad 0 < \beta < 1 \end{equation}

を満たす。この無次元量を使うことで3つの解は

\begin{align} \chi & = \left( \cos \alpha s + \frac{\nu + 1}{\alpha} \sin \alpha s \right) e^{-s} \qquad (\omega > \mu), \\ \chi &= \left( 1 + \left( \nu + 1 \right) s \right) e^{-s} \qquad ( \omega = \mu), \\ \chi &= \left( \mathrm{cos h}\, \beta s + \frac{\nu + 1}{\beta} \mathrm{sin h}\, \beta s \right) e^{-s} \qquad ( \omega < \mu). \end{align}

これで方程式の解を見通しの良い形にできたことになる。ここで $\alpha$ が十分に小さいならば

\begin{align} \chi & = \left( \cos \alpha s + \frac{\nu + 1}{\alpha} \sin \alpha s \right) e^{-s} \\ & = \left( 1 + O(\alpha^2) + \frac{\nu + 1}{\alpha} \left( \alpha s + O(\alpha^3) \right) \right) e^{-s} \\ &= \left( 1 + \left( \nu + 1 \right) s \right) e^{-s} + O(\alpha^2) \end{align}

のように $\omega= \mu$ での計算結果を再現できる。 $\beta$ でも同様に確認できる。

グラフを以下に示す。 $\alpha = \pi, \beta=0.5$ で固定して無次元化した速度 $\nu$ のみ変える。1つ目は $\nu=-2$ 、2つ目は $\nu = -1$ 、3つ目は $\nu =0$ 、4つ目は $\nu = 0.5$ にした。ふたつ目までは原点方向へ初期速度があって、3つ目は初期速度ゼロ、4つ目は原点方向とは逆方向への初期速度がある。