phys-aのブログ

物理に関することちょこちょこまとめられたらな、と

線形微分方程式についての補足

力学

パラメータ t を含む変数 x の2階線形微分方程式にFourier展開した解を実際に代入する。例えば

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} + 2\mu \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} + \omega^2 x = 0 \end{equation}

に

\begin{equation} x = \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}\lambda\, \tilde{x}(\lambda) e^{-i \lambda t} \end{equation}

を代入してみる。ここで \lambda は時間を無次元化するための量であり、 \tilde{x}(\lambda) 係数である。すると

\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}\lambda\, \tilde{x}(\lambda )\left( -\lambda^2 + i2\mu \lambda + \omega^2 \right)e^{-i \lambda t} = 0 \end{align}

が得られる。この方程式を満たす係数 \tilde{x}(\lambda) と \lambda を、任意の \mu, \omega に対して考える。すなわち

\begin{equation} \tilde{x}(\lambda)\left( -\lambda^2 + i2\mu \lambda + \omega^2 \right)=0 \end{equation}

を考えればよくて、常に \tilde{x}(\lambda)=0 が成立するのは自明解。一方で後ろの2次代数方程式の解 \lambda_\pm = -i\mu\pm\sqrt{\omega^2-\mu^2} においては \tilde{x}(\lambda) がゼロである必要が無いことが分かる。まとめると係数は任意の定数 A,B に対して

\begin{equation} \tilde{x}(\lambda) = A\, \delta(\lambda-\lambda_+) + B\, \delta(\lambda-\lambda_-) \end{equation}

を満たせば良いことが分かる。ここで \delta(\lambda) はデルタ函数である。したがって見慣れた2つの解が求まることになる。ここでのポイントは適当な階数の線形微分方程式である限り係数の形は

\begin{equation} \tilde{x}(\lambda) = \sum_k A_k \, \delta(\lambda-\lambda_k) \end{equation}

の形になってしまうことである。これならわざわざFourier展開するまでもなく e^{\lambda t} を1つ代入してやればその代数方程式の解がそのまま微分方程式の解になってしまうことが見て取れる。