周期的な強制振動（減衰項無し）の補足の補足

前回の周期的な強制振動の計算で適当な時刻で発散しなかったというのがあったが、改めてやったら一応求まったので載せておく。時刻 、パラメータ において

\begin{equation} \lim_{\alpha\to1} \frac{\sin \alpha s}{1-\alpha^2} \end{equation}

を考える。

この極限は一般には発散するが *1のときは

\begin{align} \frac{\sin \alpha s}{1-\alpha^2} &= -\frac{-1}{1+\alpha} \frac{\sin (1 - \alpha l)\pi}{1-\alpha} \\ &= -\frac{(-1)^l  }{1+\alpha} \frac{\sin (1 - \alpha)\pi l}{1-\alpha} \\ &= -\frac{(-1)^l \pi l }{1+\alpha} \frac{\sin (1 - \alpha)\pi l}{(1-\alpha)\pi l } \\ &= -\frac{(-1)^l \pi l  }{2} \qquad (\alpha \to 1 ) \end{align}

が得られる。前回の記法に合わせるには とすれば良い。

意味があるかわからないが、とりあえず正弦函数を無限積でバラして適当な時刻で発散がないことは確認できた一方でそれが解析的に分かるか謎だったので、ちゃんと関係が与えられて一安心。高校数学の練習問題だった。

グラフで見た時に面白いなと思ったのはうえで得られるのは、元々 で計算して得られる（振幅が単調増加する）グラフの極大値というわけでも別になかったという点。

*1:普通の時刻として見てるから0以上で考えている。